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奇妙的生日悖论:这就是数学的魔力

Eedu.org.cn 作者:何楹    文章来源:怪罗天下    点击数:    更新时间:2017/3/21
摘要: 开动脑筋,想想生日中有趣的数学现象。

开动脑筋,想想生日中有趣的数学现象。例如,四年才出现一次2月29日,也意味着这一天出生的人四年才能过上一次生日。此外,如果在街上偶遇一人,你们同一天生日的可能性有多大?

似乎很渺茫,对吧?366天,遇到同一天生日的概率为1/366,或0.0027%!概率极小,这就是为什么当你遇到一个和你同一天生日的人,你会不禁感慨,天啊,这好神奇啊,好巧啊!

那么,考虑一下这样的问题:在一个房间里,至少有多少人,才能使其中两个人的生日是同一天的可能性超过50%?

有人可能认为房间人数起码得达到183,因为183是366的一半。

其实这是错误的!你相信这仅仅只需要23个人吗?听起来似乎不可能,但这是真的! 

这个有趣的数学现象被称为生日悖论。当然,这不是一个真正的逻辑悖论,因为它不是自相矛盾的。它只是非常地不可思议、难以置信。

奇妙的生日悖论:这就是数学的魔力

那么,这背后的数学原理是怎样的呢?

在开始解释这个原因之前,先假设一年只有365天,每一天的生日概率相同。虽然假设不完全准确,但使我们计算起来更加方便,而且不会影响到最终结果。   

生日悖论会令人感到难以置信,因为人类倾向于从自己的角度看待问题。人们通常这样想,如果一个房间里加上自己共有23人,你会觉得在这22人里跟你同一天生日的可能性太低了。

365天,现在却只有22个人,你可能会想概率只有22/365,所以很难在这22个人中遇上跟自己同一天生日的。

其实,这是一种错误的思考方式——只是站在你自己的角度来思考有谁与你生日是一样的。

事实上,生日问题指的是在任何23个人中,两人生日相同的概率是多少,而不是你进入了一个有着22个人的房间,房间里有人会和你有相同生日的概率。

我们需要挨个比较房间里每个人之间的生日。

奇妙的生日悖论:这就是数学的魔力

把第一个人与其他22个比较,把第二个人与21个人比较,第三个人与其它20个人比较......直到最后第二个人与最后一个人比较。将23个人之间的所有这些比较加起来,产生22 + 21 + 20 ... + 1 = 23 x 22/2 = 253种不同的搭配,所以产生一对成功匹配的生日并非不可思议。

人们通常是站在这样一个角度来看问题——你进入了一个有着22个人的房间,那么房间里有人会和你有相同生日的概率非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配,这应该非常好理解。 

奇妙的生日悖论:这就是数学的魔力

为了计算出生日相同的概率,我们可以先计算所有人生日都不同的概率。那么,第一人生日是唯一的概率为365/365,第二个人生日是唯一的概率则下降到364/365,以此类推,第23个人生日是唯一的概率为343/365。

然后,把所有23个独立概率相乘,即可得到所有人生日都不相同的概率为:(365/365)× (364/365) × ... ×(343/365) ,得出结果为0.491。那么,再用1减去0.497,就可以得到23个人中有至少两个人生日相同的概率为0.509,即50.9%,超过一半的可能性。

通过公式可以看到,随着房间中人数的增加,至少有两人生日相同的概率也增加。

例如,一个教室有30名学生,那么两个同学生日相同的概率为70%。如果把人数增加到70个人,那么至少有两人生日是同一天的概率为99.9%。

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